3.89 \(\int \frac{A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=861 \[ \frac{\left (-3 C d a^4+4 b B d a^3-b^2 (B c+(5 A+C) d) a^2+2 b^3 (A c-C c+B d) a+b^4 (B c-3 A d)\right ) \log (a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x)) b^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^4 f}-\frac{\left (\left (C c^3-3 B d c^2-3 C d^2 c+B d^3-A \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) a^2+2 b \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) a+b^2 \left (A c^3-C c^3+3 B d c^2-3 A d^2 c+3 C d^2 c-B d^3\right )\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^2 \left (c^2+d^2\right )^3}+\frac{d \left (a^2 \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) d^3-2 a b \left (c (A-C) d \left (5 c^2+d^2\right )-B \left (2 c^4-3 d^2 c^2-d^4\right )\right ) d^2+b^2 \left (3 C c^6-6 B d c^5+(10 A-C) d^2 c^4-3 B d^3 c^3+9 A d^4 c^2-B d^5 c+3 A d^6\right )\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{(b c-a d)^4 \left (c^2+d^2\right )^3 f}-\frac{d \left (d^2 \left (2 c C d+B \left (c^2-d^2\right )\right ) a^3+b \left (3 C c^4-3 B d c^3+2 C d^2 c^2-B d^3 c+C d^4\right ) a^2+b^2 \left (2 c C d^3-B \left (c^4+d^2 c^2+2 d^4\right )\right ) a+b^3 c \left (2 C c^3-3 B d c^2-B d^3\right )-A \left (-\left (c^4+6 d^2 c^2+3 d^4\right ) b^3+2 a c d^3 b^2-2 a^2 d^2 \left (2 c^2+d^2\right ) b+2 a^3 c d^3\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{d \left (\left (3 C c^2-B d c+2 C d^2\right ) a^2-2 b B \left (c^2+d^2\right ) a+b^2 c (c C-B d)+A \left (\left (2 c^2+3 d^2\right ) b^2+a^2 d^2\right )\right )}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{A b^2-a (b B-a C)}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2} \]

[Out]

-(((b^2*(A*c^3 - c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 - B*d^3) + a^2*(c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 + B*d
^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) + 2*a*b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x)/((a^2 + b^2)^2*(c^2 + d^2)^3
)) + (b^2*(4*a^3*b*B*d - 3*a^4*C*d + b^4*(B*c - 3*A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C + B*d) - a^2*b^2*(B*c + (5*A + C)*
d))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^4*f) + (d*(b^2*(3*c^6*C - 6*B*c^5*d + c^4
*(10*A - C)*d^2 - 3*B*c^3*d^3 + 9*A*c^2*d^4 - B*c*d^5 + 3*A*d^6) + a^2*d^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 -
3*c*d^2)) - 2*a*b*d^2*(c*(A - C)*d*(5*c^2 + d^2) - B*(2*c^4 - 3*c^2*d^2 - d^4)))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e
+ f*x]])/((b*c - a*d)^4*(c^2 + d^2)^3*f) - (d*(b^2*c*(c*C - B*d) - 2*a*b*B*(c^2 + d^2) + a^2*(3*c^2*C - B*c*d
+ 2*C*d^2) + A*(a^2*d^2 + b^2*(2*c^2 + 3*d^2))))/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*
x])^2) - (A*b^2 - a*(b*B - a*C))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (d*
(b^3*c*(2*c^3*C - 3*B*c^2*d - B*d^3) + a^2*b*(3*c^4*C - 3*B*c^3*d + 2*c^2*C*d^2 - B*c*d^3 + C*d^4) + a^3*d^2*(
2*c*C*d + B*(c^2 - d^2)) + a*b^2*(2*c*C*d^3 - B*(c^4 + c^2*d^2 + 2*d^4)) - A*(2*a^3*c*d^3 + 2*a*b^2*c*d^3 - 2*
a^2*b*d^2*(2*c^2 + d^2) - b^3*(c^4 + 6*c^2*d^2 + 3*d^4))))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*T
an[e + f*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 4.27601, antiderivative size = 860, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 3, integrand size = 45, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.067, Rules used = {3649, 3651, 3530} \[ \frac{\left (-3 C d a^4+4 b B d a^3-b^2 (B c+(5 A+C) d) a^2+2 b^3 (A c-C c+B d) a+b^4 (B c-3 A d)\right ) \log (a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x)) b^2}{\left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^4 f}-\frac{\left (\left (C c^3-3 B d c^2-3 C d^2 c+B d^3-A \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) a^2+2 b \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) a+b^2 \left (A c^3-C c^3+3 B d c^2-3 A d^2 c+3 C d^2 c-B d^3\right )\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^2 \left (c^2+d^2\right )^3}+\frac{d \left (a^2 \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) d^3-2 a b \left (c (A-C) d \left (5 c^2+d^2\right )-B \left (2 c^4-3 d^2 c^2-d^4\right )\right ) d^2+b^2 \left (3 C c^6-6 B d c^5+(10 A-C) d^2 c^4-3 B d^3 c^3+9 A d^4 c^2-B d^5 c+3 A d^6\right )\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{(b c-a d)^4 \left (c^2+d^2\right )^3 f}-\frac{d \left (d^2 \left (2 c C d+B \left (c^2-d^2\right )\right ) a^3+b \left (3 C c^4-3 B d c^3+2 C d^2 c^2-B d^3 c+C d^4\right ) a^2+b^2 \left (2 c C d^3-B \left (c^4+d^2 c^2+2 d^4\right )\right ) a+b^3 c \left (2 C c^3-3 B d c^2-B d^3\right )-A \left (-\left (c^4+6 d^2 c^2+3 d^4\right ) b^3+2 a c d^3 b^2-2 a^2 d^2 \left (2 c^2+d^2\right ) b+2 a^3 c d^3\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{d \left (A d^2 a^2+\left (3 C c^2-B d c+2 C d^2\right ) a^2-2 b B \left (c^2+d^2\right ) a+b^2 c (c C-B d)+A b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{A b^2-a (b B-a C)}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3),x]

[Out]

-(((b^2*(A*c^3 - c^3*C + 3*B*c^2*d - 3*A*c*d^2 + 3*c*C*d^2 - B*d^3) + a^2*(c^3*C - 3*B*c^2*d - 3*c*C*d^2 + B*d
^3 - A*(c^3 - 3*c*d^2)) + 2*a*b*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)))*x)/((a^2 + b^2)^2*(c^2 + d^2)^3
)) + (b^2*(4*a^3*b*B*d - 3*a^4*C*d + b^4*(B*c - 3*A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C + B*d) - a^2*b^2*(B*c + (5*A + C)*
d))*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^4*f) + (d*(b^2*(3*c^6*C - 6*B*c^5*d + c^4
*(10*A - C)*d^2 - 3*B*c^3*d^3 + 9*A*c^2*d^4 - B*c*d^5 + 3*A*d^6) + a^2*d^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 -
3*c*d^2)) - 2*a*b*d^2*(c*(A - C)*d*(5*c^2 + d^2) - B*(2*c^4 - 3*c^2*d^2 - d^4)))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e
+ f*x]])/((b*c - a*d)^4*(c^2 + d^2)^3*f) - (d*(a^2*A*d^2 + b^2*c*(c*C - B*d) - 2*a*b*B*(c^2 + d^2) + A*b^2*(2
*c^2 + 3*d^2) + a^2*(3*c^2*C - B*c*d + 2*C*d^2)))/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*
x])^2) - (A*b^2 - a*(b*B - a*C))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (d*
(b^3*c*(2*c^3*C - 3*B*c^2*d - B*d^3) + a^2*b*(3*c^4*C - 3*B*c^3*d + 2*c^2*C*d^2 - B*c*d^3 + C*d^4) + a^3*d^2*(
2*c*C*d + B*(c^2 - d^2)) + a*b^2*(2*c*C*d^3 - B*(c^4 + c^2*d^2 + 2*d^4)) - A*(2*a^3*c*d^3 + 2*a*b^2*c*d^3 - 2*
a^2*b*d^2*(2*c^2 + d^2) - b^3*(c^4 + 6*c^2*d^2 + 3*d^4))))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*T
an[e + f*x]))

Rule 3649

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*t
an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(a + b*T
an[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(
b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[A*(a*(b*c - a*d)*(m + 1)
- b^2*d*(m + n + 2)) + (b*B - a*C)*(b*c*(m + 1) + a*d*(n + 1)) - (m + 1)*(b*c - a*d)*(A*b - a*B - b*C)*Tan[e
+ f*x] - d*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C,
n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !I
ntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

Rule 3651

Int[((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)
*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[((a*(A*c - c*C + B*d) + b*(B*c - A*d + C*d
))*x)/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2)), x] + (Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/((b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), Int[(b - a*Tan[
e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Dist[(c^2*C - B*c*d + A*d^2)/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)), Int[(d - c*Ta
n[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ
[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 3530

Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c*Log[Re
moveContent[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x], x]])/(b*f), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d,
0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[a*c + b*d, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^3} \, dx &=-\frac{A b^2-a (b B-a C)}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\int \frac{3 A b^2 d-a A (b c-a d)-(b B-a C) (b c+2 a d)+(A b-a B-b C) (b c-a d) \tan (e+f x)+3 \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) d \tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^3} \, dx}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)}\\ &=-\frac{d \left (a^2 A d^2+b^2 c (c C-B d)-2 a b B \left (c^2+d^2\right )+A b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )+a^2 \left (3 c^2 C-B c d+2 C d^2\right )\right )}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{A b^2-a (b B-a C)}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\int \frac{-2 \left (a^3 d^2 (A c-c C+B d)-a^2 b (2 A+C) d \left (c^2+d^2\right )+b^3 (B c-3 A d) \left (c^2+d^2\right )+a b^2 (A c-c C+B d) \left (c^2+2 d^2\right )\right )-2 (b c-a d)^2 (b c C-b B d-A (b c+a d)+a (B c+C d)) \tan (e+f x)+2 b d \left (a^2 A d^2+b^2 c (c C-B d)-2 a b B \left (c^2+d^2\right )+A b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )+a^2 \left (3 c^2 C-B c d+2 C d^2\right )\right ) \tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2} \, dx}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right )}\\ &=-\frac{d \left (a^2 A d^2+b^2 c (c C-B d)-2 a b B \left (c^2+d^2\right )+A b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )+a^2 \left (3 c^2 C-B c d+2 C d^2\right )\right )}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{A b^2-a (b B-a C)}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{d \left (b^3 c \left (2 c^3 C-3 B c^2 d-B d^3\right )+a^2 b \left (3 c^4 C-3 B c^3 d+2 c^2 C d^2-B c d^3+C d^4\right )+a^3 d^2 \left (2 c C d+B \left (c^2-d^2\right )\right )+a b^2 \left (2 c C d^3-B \left (c^4+c^2 d^2+2 d^4\right )\right )-A \left (2 a^3 c d^3+2 a b^2 c d^3-2 a^2 b d^2 \left (2 c^2+d^2\right )-b^3 \left (c^4+6 c^2 d^2+3 d^4\right )\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{\int \frac{2 \left (\left (a c d-b \left (c^2+d^2\right )\right ) \left (a^3 d^2 (A c-c C+B d)-a^2 b (2 A+C) d \left (c^2+d^2\right )+b^3 (B c-3 A d) \left (c^2+d^2\right )+a b^2 (A c-c C+B d) \left (c^2+2 d^2\right )\right )+a d^2 \left (2 b^3 c^2 (c C-B d)-a b^2 c^2 (B c+C d)+a^3 d^2 (B c+C d)+a^2 b (c C-B d) \left (3 c^2+d^2\right )+A \left (a b^2 c^2 d+2 a^2 b c d^2-a^3 d^3+b^3 \left (c^3+3 c d^2\right )\right )\right )\right )+2 (b c-a d)^3 \left (2 a A c d-2 a c C d+A b \left (c^2-d^2\right )-a B \left (c^2-d^2\right )-b \left (c^2 C-2 B c d-C d^2\right )\right ) \tan (e+f x)+2 b d \left (b^3 c \left (2 c^3 C-3 B c^2 d-B d^3\right )+a^2 b \left (3 c^4 C-3 B c^3 d+2 c^2 C d^2-B c d^3+C d^4\right )+a^3 d^2 \left (2 c C d+B \left (c^2-d^2\right )\right )+a b^2 \left (2 c C d^3-B \left (c^4+c^2 d^2+2 d^4\right )\right )-A \left (2 a^3 c d^3+2 a b^2 c d^3-2 a^2 b d^2 \left (2 c^2+d^2\right )-b^3 \left (c^4+6 c^2 d^2+3 d^4\right )\right )\right ) \tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))} \, dx}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^2}\\ &=-\frac{\left (b^2 \left (A c^3-c^3 C+3 B c^2 d-3 A c d^2+3 c C d^2-B d^3\right )+a^2 \left (c^3 C-3 B c^2 d-3 c C d^2+B d^3-A \left (c^3-3 c d^2\right )\right )+2 a b \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right )\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^2 \left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{d \left (a^2 A d^2+b^2 c (c C-B d)-2 a b B \left (c^2+d^2\right )+A b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )+a^2 \left (3 c^2 C-B c d+2 C d^2\right )\right )}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{A b^2-a (b B-a C)}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{d \left (b^3 c \left (2 c^3 C-3 B c^2 d-B d^3\right )+a^2 b \left (3 c^4 C-3 B c^3 d+2 c^2 C d^2-B c d^3+C d^4\right )+a^3 d^2 \left (2 c C d+B \left (c^2-d^2\right )\right )+a b^2 \left (2 c C d^3-B \left (c^4+c^2 d^2+2 d^4\right )\right )-A \left (2 a^3 c d^3+2 a b^2 c d^3-2 a^2 b d^2 \left (2 c^2+d^2\right )-b^3 \left (c^4+6 c^2 d^2+3 d^4\right )\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}+\frac{\left (b^2 \left (4 a^3 b B d-3 a^4 C d+b^4 (B c-3 A d)+2 a b^3 (A c-c C+B d)-a^2 b^2 (B c+(5 A+C) d)\right )\right ) \int \frac{b-a \tan (e+f x)}{a+b \tan (e+f x)} \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^4}+\frac{\left (d \left (b^2 \left (3 c^6 C-6 B c^5 d+c^4 (10 A-C) d^2-3 B c^3 d^3+9 A c^2 d^4-B c d^5+3 A d^6\right )+a^2 d^3 \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right )-2 a b d^2 \left (c (A-C) d \left (5 c^2+d^2\right )-B \left (2 c^4-3 c^2 d^2-d^4\right )\right )\right )\right ) \int \frac{d-c \tan (e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{(b c-a d)^4 \left (c^2+d^2\right )^3}\\ &=-\frac{\left (b^2 \left (A c^3-c^3 C+3 B c^2 d-3 A c d^2+3 c C d^2-B d^3\right )+a^2 \left (c^3 C-3 B c^2 d-3 c C d^2+B d^3-A \left (c^3-3 c d^2\right )\right )+2 a b \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right )\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^2 \left (c^2+d^2\right )^3}+\frac{b^2 \left (4 a^3 b B d-3 a^4 C d+b^4 (B c-3 A d)+2 a b^3 (A c-c C+B d)-a^2 b^2 (B c+(5 A+C) d)\right ) \log (a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x))}{\left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^4 f}+\frac{d \left (b^2 \left (3 c^6 C-6 B c^5 d+c^4 (10 A-C) d^2-3 B c^3 d^3+9 A c^2 d^4-B c d^5+3 A d^6\right )+a^2 d^3 \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right )-2 a b d^2 \left (c (A-C) d \left (5 c^2+d^2\right )-B \left (2 c^4-3 c^2 d^2-d^4\right )\right )\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{(b c-a d)^4 \left (c^2+d^2\right )^3 f}-\frac{d \left (a^2 A d^2+b^2 c (c C-B d)-2 a b B \left (c^2+d^2\right )+A b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )+a^2 \left (3 c^2 C-B c d+2 C d^2\right )\right )}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{A b^2-a (b B-a C)}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{d \left (b^3 c \left (2 c^3 C-3 B c^2 d-B d^3\right )+a^2 b \left (3 c^4 C-3 B c^3 d+2 c^2 C d^2-B c d^3+C d^4\right )+a^3 d^2 \left (2 c C d+B \left (c^2-d^2\right )\right )+a b^2 \left (2 c C d^3-B \left (c^4+c^2 d^2+2 d^4\right )\right )-A \left (2 a^3 c d^3+2 a b^2 c d^3-2 a^2 b d^2 \left (2 c^2+d^2\right )-b^3 \left (c^4+6 c^2 d^2+3 d^4\right )\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 8.20003, size = 1732, normalized size = 2.01 \[ -\frac{A b^2-a (b B-a C)}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{-\frac{d^2 \left (3 A d b^2-a A (b c-a d)-(b B-a C) (b c+2 a d)\right )-c \left ((A b-C b-a B) d (b c-a d)-3 c \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) d\right )}{2 (a d-b c) \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{-\frac{d^2 \left (\left (2 b d^2-2 c (a d-b c)\right ) \left (3 A d b^2-a A (b c-a d)-(b B-a C) (b c+2 a d)\right )-2 a d \left ((A b-C b-a B) d (b c-a d)-3 c \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) d\right )\right )-c \left (2 d (a d-b c) \left (-3 \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) d^2+\left (3 A d b^2-a A (b c-a d)-(b B-a C) (b c+2 a d)\right ) d-c (A b-C b-a B) (b c-a d)\right )-2 b c \left (d^2 \left (3 A d b^2-a A (b c-a d)-(b B-a C) (b c+2 a d)\right )-c \left ((A b-C b-a B) d (b c-a d)-3 c \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) d\right )\right )\right )}{(a d-b c) \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{-\frac{2 \left (c^2+d^2\right )^2 \left (-3 C d a^4+4 b B d a^3-b^2 (B c+(5 A+C) d) a^2+2 b^3 (A c-C c+B d) a+b^4 (B c-3 A d)\right ) \log (a+b \tan (e+f x)) b^3}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)}-\frac{2 \left (a^2+b^2\right ) d \left (a^2 \left ((A-C) d \left (3 c^2-d^2\right )-B \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) d^3-2 a b \left (c (A-C) d \left (5 c^2+d^2\right )-B \left (2 c^4-3 d^2 c^2-d^4\right )\right ) d^2+b^2 \left (3 C c^6-6 B d c^5+(10 A-C) d^2 c^4-3 B d^3 c^3+9 A d^4 c^2-B d^5 c+3 A d^6\right )\right ) \log (c+d \tan (e+f x)) b}{(b c-a d) \left (c^2+d^2\right )}-\frac{(b c-a d)^3 \left (\sqrt{-b^2} \left (A c^3 b^3-B d^3 b^3-3 A c d^2 b^3+3 c C d^2 b^3-c^3 C b^3+3 B c^2 d b^3-2 a B c^3 b^2-2 a A d^3 b^2+2 a C d^3 b^2+6 a B c d^2 b^2+6 a A c^2 d b^2-6 a c^2 C d b^2-a^2 A c^3 b+a^2 B d^3 b+3 a^2 A c d^2 b-3 a^2 c C d^2 b+a^2 c^3 C b-3 a^2 B c^2 d b\right )-b^2 \left (2 a A b c^3-a^2 B c^3+b^2 B c^3-2 a b C c^3-3 A b^2 d c^2+3 a^2 A d c^2+6 a b B d c^2-3 a^2 C d c^2+3 b^2 C d c^2-6 a A b d^2 c+3 a^2 B d^2 c-3 b^2 B d^2 c+6 a b C d^2 c+A b^2 d^3-a^2 A d^3-2 a b B d^3+a^2 C d^3-b^2 C d^3\right )\right ) \log \left (\sqrt{-b^2}-b \tan (e+f x)\right )}{\left (a^2+b^2\right ) \left (c^2+d^2\right ) b}+\frac{(b c-a d)^3 \left (\left (2 a A b c^3-a^2 B c^3+b^2 B c^3-2 a b C c^3-3 A b^2 d c^2+3 a^2 A d c^2+6 a b B d c^2-3 a^2 C d c^2+3 b^2 C d c^2-6 a A b d^2 c+3 a^2 B d^2 c-3 b^2 B d^2 c+6 a b C d^2 c+A b^2 d^3-a^2 A d^3-2 a b B d^3+a^2 C d^3-b^2 C d^3\right ) b^2+\sqrt{-b^2} \left (A c^3 b^3-B d^3 b^3-3 A c d^2 b^3+3 c C d^2 b^3-c^3 C b^3+3 B c^2 d b^3-2 a B c^3 b^2-2 a A d^3 b^2+2 a C d^3 b^2+6 a B c d^2 b^2+6 a A c^2 d b^2-6 a c^2 C d b^2-a^2 A c^3 b+a^2 B d^3 b+3 a^2 A c d^2 b-3 a^2 c C d^2 b+a^2 c^3 C b-3 a^2 B c^2 d b\right )\right ) \log \left (b \tan (e+f x)+\sqrt{-b^2}\right )}{\left (a^2+b^2\right ) \left (c^2+d^2\right ) b}}{b (a d-b c) \left (c^2+d^2\right ) f}}{2 (a d-b c) \left (c^2+d^2\right )}}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2)/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3),x]

[Out]

-((A*b^2 - a*(b*B - a*C))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2)) - (-(-(c*(-
3*c*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*d + (A*b - a*B - b*C)*d*(b*c - a*d))) + d^2*(3*A*b^2*d - a*A*(b*c - a*d) - (b*B -
a*C)*(b*c + 2*a*d)))/(2*(-(b*c) + a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (-((-(((b*c - a*d)^3*(-(b^2*(2*
a*A*b*c^3 - a^2*B*c^3 + b^2*B*c^3 - 2*a*b*c^3*C + 3*a^2*A*c^2*d - 3*A*b^2*c^2*d + 6*a*b*B*c^2*d - 3*a^2*c^2*C*
d + 3*b^2*c^2*C*d - 6*a*A*b*c*d^2 + 3*a^2*B*c*d^2 - 3*b^2*B*c*d^2 + 6*a*b*c*C*d^2 - a^2*A*d^3 + A*b^2*d^3 - 2*
a*b*B*d^3 + a^2*C*d^3 - b^2*C*d^3)) + Sqrt[-b^2]*(-(a^2*A*b*c^3) + A*b^3*c^3 - 2*a*b^2*B*c^3 + a^2*b*c^3*C - b
^3*c^3*C + 6*a*A*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*B*c^2*d + 3*b^3*B*c^2*d - 6*a*b^2*c^2*C*d + 3*a^2*A*b*c*d^2 - 3*A*b^3*c*d
^2 + 6*a*b^2*B*c*d^2 - 3*a^2*b*c*C*d^2 + 3*b^3*c*C*d^2 - 2*a*A*b^2*d^3 + a^2*b*B*d^3 - b^3*B*d^3 + 2*a*b^2*C*d
^3))*Log[Sqrt[-b^2] - b*Tan[e + f*x]])/(b*(a^2 + b^2)*(c^2 + d^2))) - (2*b^3*(c^2 + d^2)^2*(4*a^3*b*B*d - 3*a^
4*C*d + b^4*(B*c - 3*A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C + B*d) - a^2*b^2*(B*c + (5*A + C)*d))*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/
((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)) + ((b*c - a*d)^3*(b^2*(2*a*A*b*c^3 - a^2*B*c^3 + b^2*B*c^3 - 2*a*b*c^3*C + 3*a^2*A*c
^2*d - 3*A*b^2*c^2*d + 6*a*b*B*c^2*d - 3*a^2*c^2*C*d + 3*b^2*c^2*C*d - 6*a*A*b*c*d^2 + 3*a^2*B*c*d^2 - 3*b^2*B
*c*d^2 + 6*a*b*c*C*d^2 - a^2*A*d^3 + A*b^2*d^3 - 2*a*b*B*d^3 + a^2*C*d^3 - b^2*C*d^3) + Sqrt[-b^2]*(-(a^2*A*b*
c^3) + A*b^3*c^3 - 2*a*b^2*B*c^3 + a^2*b*c^3*C - b^3*c^3*C + 6*a*A*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*B*c^2*d + 3*b^3*B*c^2*d
- 6*a*b^2*c^2*C*d + 3*a^2*A*b*c*d^2 - 3*A*b^3*c*d^2 + 6*a*b^2*B*c*d^2 - 3*a^2*b*c*C*d^2 + 3*b^3*c*C*d^2 - 2*a
*A*b^2*d^3 + a^2*b*B*d^3 - b^3*B*d^3 + 2*a*b^2*C*d^3))*Log[Sqrt[-b^2] + b*Tan[e + f*x]])/(b*(a^2 + b^2)*(c^2 +
d^2)) - (2*b*(a^2 + b^2)*d*(b^2*(3*c^6*C - 6*B*c^5*d + c^4*(10*A - C)*d^2 - 3*B*c^3*d^3 + 9*A*c^2*d^4 - B*c*d
^5 + 3*A*d^6) + a^2*d^3*((A - C)*d*(3*c^2 - d^2) - B*(c^3 - 3*c*d^2)) - 2*a*b*d^2*(c*(A - C)*d*(5*c^2 + d^2) -
B*(2*c^4 - 3*c^2*d^2 - d^4)))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)))/(b*(-(b*c) + a*d)*(c^2 + d^
2)*f)) - (d^2*(-2*a*d*(-3*c*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*d + (A*b - a*B - b*C)*d*(b*c - a*d)) + (2*b*d^2 - 2*c*(-(b
*c) + a*d))*(3*A*b^2*d - a*A*(b*c - a*d) - (b*B - a*C)*(b*c + 2*a*d))) - c*(2*d*(-(b*c) + a*d)*(-3*(A*b^2 - a*
(b*B - a*C))*d^2 - c*(A*b - a*B - b*C)*(b*c - a*d) + d*(3*A*b^2*d - a*A*(b*c - a*d) - (b*B - a*C)*(b*c + 2*a*d
))) - 2*b*c*(-(c*(-3*c*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*d + (A*b - a*B - b*C)*d*(b*c - a*d))) + d^2*(3*A*b^2*d - a*A*(b
*c - a*d) - (b*B - a*C)*(b*c + 2*a*d)))))/((-(b*c) + a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])))/(2*(-(b*c) + a*
d)*(c^2 + d^2)))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.14, size = 3364, normalized size = 3.9 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x)

[Out]

-1/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*b^2*c^3-1/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C
*a^2*d^3+1/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*b^2*d^3-1/f*d^5/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f
*x+e))*B*a+1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*A*arctan(tan(f*x+e))*a^2*c^3-1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*A*arctan(tan(f
*x+e))*b^2*c^3-1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*B*arctan(tan(f*x+e))*a^2*d^3+1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*B*arctan(t
an(f*x+e))*b^2*d^3-1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*C*arctan(tan(f*x+e))*a^2*c^3+1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*C*arct
an(tan(f*x+e))*b^2*c^3+1/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*a^2*d^3-1/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^
3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*b^2*d^3+3/f*d^5/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*a^2*c^2+10/f*d^3/(a*d-b*c)
^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*b^2*c^4+9/f*d^5/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*b^2*c^2-1/f*d
^4/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*a^2*c^3-5/f*b^4/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e))*A*a
^2*d+2/f*b^5/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e))*A*a*c+4/f*b^3/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e
))*a^3*B*d-1/f*d^4/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*B*b*c+2/f*d^4/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x
+e))*C*a*c+2/f*d/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*C*b*c^4-3/f*b^2/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f
*x+e))*a^4*C*d-3/f*d^2/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*B*b*c^3-3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*B*arctan(t
an(f*x+e))*b^2*c^2*d+2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*B*arctan(tan(f*x+e))*a*b*c^3-1/f*b^4/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*
ln(a+b*tan(f*x+e))*B*a^2*c+2/f*b^5/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e))*B*a*d-3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^
3*A*arctan(tan(f*x+e))*a^2*c*d^2+3/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*b^2*c*d^2+3/2/f/(a^2+b^2)^
2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*a^2*c^2*d+1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*a*b*c^3-3/2/f/(a
^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*b^2*c^2*d+2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*A*arctan(tan(f*x+e))*a*b*d^3+
3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*A*arctan(tan(f*x+e))*b^2*c*d^2+3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*B*arctan(tan(f*x+e))*a^
2*c^2*d-1/f*b^4/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e))*C*a^2*d-2/f*b^5/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(
f*x+e))*C*a*c+3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*C*arctan(tan(f*x+e))*a^2*c*d^2-2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*C*arctan(
tan(f*x+e))*a*b*d^3-3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*C*arctan(tan(f*x+e))*b^2*c*d^2-3/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*l
n(1+tan(f*x+e)^2)*A*a^2*c^2*d-1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*a*b*c^3+1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^
2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*a*b*d^3+1/f*d^3/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*B*a*c^2+4/f*d^3/(a*d-b*c)^3
/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*A*b*c^2+3/f*d/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*C*b^2*c^6-1/f*d^3/(a*d-
b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*C*b^2*c^4-2/f*d^4/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*A*a*c-1/f*d^6
/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*b^2*c-3/f*d^5/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*C*a^2*c
^2-6/f*d^2/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*b^2*c^5-3/f*d^4/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x
+e))*B*b^2*c^3+3/f*d^6/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*a^2*c-2/f*d^7/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c
+d*tan(f*x+e))*B*a*b+3/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*b^2*c^2*d-3/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^
3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*a^2*c*d^2-3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*a*b*c^2*d+1/2/f/(a^2+b^2)^2/
(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*a^2*c^3-6/f*d^5/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*a*b*c^2+10/f*d^4
/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*C*a*b*c^3+2/f*d^6/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*C*a*b
*c-6/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*A*arctan(tan(f*x+e))*a*b*c^2*d+6/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*C*arctan(tan(f*x+e))
*a*b*c^2*d-3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*a*b*c*d^2-6/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*B*arctan(tan
(f*x+e))*a*b*c*d^2-1/f*d^7/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*a^2+3/f*d^7/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln
(c+d*tan(f*x+e))*A*b^2+1/f*d^7/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*C*a^2+1/2/f*d^2/(a*d-b*c)^2/(c^2+d^2
)/(c+d*tan(f*x+e))^2*B*c-1/2/f*d/(a*d-b*c)^2/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2*c^2*C-3/f*b^6/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^
4*ln(a+b*tan(f*x+e))*A*d+1/f*b^6/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e))*B*c-1/f*b^3/(a^2+b^2)/(a*d-b*c)^3/
(a+b*tan(f*x+e))*B*a+1/f*b^2/(a^2+b^2)/(a*d-b*c)^3/(a+b*tan(f*x+e))*C*a^2+2/f*d^5/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)^2/(c+d
*tan(f*x+e))*A*b-10/f*d^4/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*a*b*c^3+3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(
1+tan(f*x+e)^2)*A*a*b*c*d^2-2/f*d^6/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*a*b*c+4/f*d^3/(a*d-b*c)^4/(c^
2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*a*b*c^4-1/2/f*d^3/(a*d-b*c)^2/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2*A+1/f*b^4/(a^2+b^2)/(
a*d-b*c)^3/(a+b*tan(f*x+e))*A

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 2.27326, size = 3425, normalized size = 3.98 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(2*(((A - C)*a^2 + 2*B*a*b - (A - C)*b^2)*c^3 + 3*(B*a^2 - 2*(A - C)*a*b - B*b^2)*c^2*d - 3*((A - C)*a^2 +
2*B*a*b - (A - C)*b^2)*c*d^2 - (B*a^2 - 2*(A - C)*a*b - B*b^2)*d^3)*(f*x + e)/((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^6 +
3*(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^4*d^2 + 3*(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2*d^4 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^6) - 2*((B*a
^2*b^4 - 2*(A - C)*a*b^5 - B*b^6)*c + (3*C*a^4*b^2 - 4*B*a^3*b^3 + (5*A + C)*a^2*b^4 - 2*B*a*b^5 + 3*A*b^6)*d)
*log(b*tan(f*x + e) + a)/((a^4*b^4 + 2*a^2*b^6 + b^8)*c^4 - 4*(a^5*b^3 + 2*a^3*b^5 + a*b^7)*c^3*d + 6*(a^6*b^2
+ 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2*d^2 - 4*(a^7*b + 2*a^5*b^3 + a^3*b^5)*c*d^3 + (a^8 + 2*a^6*b^2 + a^4*b^4)*d^4) + 2
*(3*C*b^2*c^6*d - 6*B*b^2*c^5*d^2 + (4*B*a*b + (10*A - C)*b^2)*c^4*d^3 - (B*a^2 + 10*(A - C)*a*b + 3*B*b^2)*c^
3*d^4 + 3*((A - C)*a^2 - 2*B*a*b + 3*A*b^2)*c^2*d^5 + (3*B*a^2 - 2*(A - C)*a*b - B*b^2)*c*d^6 - ((A - C)*a^2 +
2*B*a*b - 3*A*b^2)*d^7)*log(d*tan(f*x + e) + c)/(b^4*c^10 - 4*a*b^3*c^9*d - 4*a^3*b*c*d^9 + a^4*d^10 + 3*(2*a
^2*b^2 + b^4)*c^8*d^2 - 4*(a^3*b + 3*a*b^3)*c^7*d^3 + (a^4 + 18*a^2*b^2 + 3*b^4)*c^6*d^4 - 12*(a^3*b + a*b^3)*
c^5*d^5 + (3*a^4 + 18*a^2*b^2 + b^4)*c^4*d^6 - 4*(3*a^3*b + a*b^3)*c^3*d^7 + 3*(a^4 + 2*a^2*b^2)*c^2*d^8) + ((
B*a^2 - 2*(A - C)*a*b - B*b^2)*c^3 - 3*((A - C)*a^2 + 2*B*a*b - (A - C)*b^2)*c^2*d - 3*(B*a^2 - 2*(A - C)*a*b
- B*b^2)*c*d^2 + ((A - C)*a^2 + 2*B*a*b - (A - C)*b^2)*d^3)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c
^6 + 3*(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^4*d^2 + 3*(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2*d^4 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^6) - (2
*(C*a^2*b^2 - B*a*b^3 + A*b^4)*c^6 + 5*(C*a^3*b + C*a*b^3)*c^5*d - (C*a^4 + 7*B*a^3*b - 3*C*a^2*b^2 + 11*B*a*b
^3 - 4*A*b^4)*c^4*d^2 + (3*B*a^4 + (9*A + C)*a^3*b + 3*B*a^2*b^2 + (9*A + C)*a*b^3)*c^3*d^3 - ((5*A - 3*C)*a^4
+ 3*B*a^3*b + 5*(A - C)*a^2*b^2 + 5*B*a*b^3 - 2*A*b^4)*c^2*d^4 - (B*a^4 - 5*A*a^3*b + B*a^2*b^2 - 5*A*a*b^3)*
c*d^5 - (A*a^4 + A*a^2*b^2)*d^6 + 2*((3*C*a^2*b^2 - B*a*b^3 + (A + 2*C)*b^4)*c^4*d^2 - 3*(B*a^2*b^2 + B*b^4)*c
^3*d^3 + (B*a^3*b + 2*(2*A + C)*a^2*b^2 - B*a*b^3 + 6*A*b^4)*c^2*d^4 - (2*(A - C)*a^3*b + B*a^2*b^2 + 2*(A - C
)*a*b^3 + B*b^4)*c*d^5 - (B*a^3*b - (2*A + C)*a^2*b^2 + 2*B*a*b^3 - 3*A*b^4)*d^6)*tan(f*x + e)^2 + ((9*C*a^2*b
^2 - 4*B*a*b^3 + (4*A + 5*C)*b^4)*c^5*d + (3*C*a^3*b - 7*B*a^2*b^2 + 3*C*a*b^3 - 7*B*b^4)*c^4*d^2 - (3*B*a^3*b
- 9*(A + C)*a^2*b^2 + 11*B*a*b^3 - (17*A + C)*b^4)*c^3*d^3 + (2*B*a^4 + 3*(A + C)*a^3*b - B*a^2*b^2 + 3*(A +
C)*a*b^3 - 3*B*b^4)*c^2*d^4 - (4*(A - C)*a^4 + 3*B*a^3*b - (A + 8*C)*a^2*b^2 + 7*B*a*b^3 - 9*A*b^4)*c*d^5 - (2
*B*a^4 - 3*A*a^3*b + 2*B*a^2*b^2 - 3*A*a*b^3)*d^6)*tan(f*x + e))/((a^3*b^3 + a*b^5)*c^9 - 3*(a^4*b^2 + a^2*b^4
)*c^8*d + (3*a^5*b + 5*a^3*b^3 + 2*a*b^5)*c^7*d^2 - (a^6 + 7*a^4*b^2 + 6*a^2*b^4)*c^6*d^3 + (6*a^5*b + 7*a^3*b
^3 + a*b^5)*c^5*d^4 - (2*a^6 + 5*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4)*c^4*d^5 + 3*(a^5*b + a^3*b^3)*c^3*d^6 - (a^6 + a^4*b^2)*
c^2*d^7 + ((a^2*b^4 + b^6)*c^7*d^2 - 3*(a^3*b^3 + a*b^5)*c^6*d^3 + (3*a^4*b^2 + 5*a^2*b^4 + 2*b^6)*c^5*d^4 - (
a^5*b + 7*a^3*b^3 + 6*a*b^5)*c^4*d^5 + (6*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 + b^6)*c^3*d^6 - (2*a^5*b + 5*a^3*b^3 + 3*a*b^5)
*c^2*d^7 + 3*(a^4*b^2 + a^2*b^4)*c*d^8 - (a^5*b + a^3*b^3)*d^9)*tan(f*x + e)^3 + (2*(a^2*b^4 + b^6)*c^8*d - 5*
(a^3*b^3 + a*b^5)*c^7*d^2 + (3*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^6*d^3 + (a^5*b - 9*a^3*b^3 - 10*a*b^5)*c^5*d^4 -
(a^6 - 5*a^4*b^2 - 8*a^2*b^4 - 2*b^6)*c^4*d^5 + (2*a^5*b - 3*a^3*b^3 - 5*a*b^5)*c^3*d^6 - (2*a^6 - a^4*b^2 -
3*a^2*b^4)*c^2*d^7 + (a^5*b + a^3*b^3)*c*d^8 - (a^6 + a^4*b^2)*d^9)*tan(f*x + e)^2 + ((a^2*b^4 + b^6)*c^9 - (a
^3*b^3 + a*b^5)*c^8*d - (3*a^4*b^2 + a^2*b^4 - 2*b^6)*c^7*d^2 + (5*a^5*b + 3*a^3*b^3 - 2*a*b^5)*c^6*d^3 - (2*a
^6 + 8*a^4*b^2 + 5*a^2*b^4 - b^6)*c^5*d^4 + (10*a^5*b + 9*a^3*b^3 - a*b^5)*c^4*d^5 - (4*a^6 + 7*a^4*b^2 + 3*a^
2*b^4)*c^3*d^6 + 5*(a^5*b + a^3*b^3)*c^2*d^7 - 2*(a^6 + a^4*b^2)*c*d^8)*tan(f*x + e)))/f

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 98.9495, size = 20006, normalized size = 23.24 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(2*(C*a^2*b^5 - B*a*b^6 + A*b^7)*c^9 - 2*(C*a^3*b^4 - B*a^2*b^5 + A*a*b^6)*c^8*d + 6*(C*a^2*b^5 - B*a*b^6
+ A*b^7)*c^7*d^2 + (7*C*a^5*b^2 + 8*C*a^3*b^4 + 6*B*a^2*b^5 - (6*A - 7*C)*a*b^6)*c^6*d^3 - (10*C*a^6*b + 9*B*
a^5*b^2 + 20*C*a^4*b^3 + 18*B*a^3*b^4 + 4*C*a^2*b^5 + 15*B*a*b^6 - 6*A*b^7)*c^5*d^4 + (3*C*a^7 + 14*B*a^6*b +
(11*A + 7*C)*a^5*b^2 + 28*B*a^4*b^3 + (22*A - C)*a^3*b^4 + 20*B*a^2*b^5 + (5*A + C)*a*b^6)*c^4*d^5 - (5*B*a^7
+ 2*(9*A - C)*a^6*b + 13*B*a^5*b^2 + 4*(9*A - C)*a^4*b^3 + 11*B*a^3*b^4 + 2*(9*A - 2*C)*a^2*b^5 + 5*B*a*b^6 -
2*A*b^7)*c^3*d^6 + ((7*A - 3*C)*a^7 + 2*B*a^6*b + (19*A - 6*C)*a^5*b^2 + 4*B*a^4*b^3 + (17*A - 5*C)*a^3*b^4 +
4*B*a^2*b^5 + 3*A*a*b^6)*c^2*d^7 + (B*a^7 - 6*A*a^6*b + 2*B*a^5*b^2 - 12*A*a^4*b^3 + B*a^3*b^4 - 6*A*a^2*b^5)*
c*d^8 + (A*a^7 + 2*A*a^5*b^2 + A*a^3*b^4)*d^9 - (2*(C*a^3*b^4 - B*a^2*b^5 + A*a*b^6)*c^7*d^2 + (3*C*a^4*b^3 +
2*B*a^3*b^4 - 2*(A - 5*C)*a^2*b^5 + 5*C*b^7)*c^6*d^3 - (6*C*a^5*b^2 + 7*B*a^4*b^3 + 6*C*a^3*b^4 + 20*B*a^2*b^5
- 6*(A - C)*a*b^6 + 7*B*b^7)*c^5*d^4 + (C*a^6*b + 10*B*a^5*b^2 + (9*A - 5*C)*a^4*b^3 + 26*B*a^3*b^4 + (12*A -
C)*a^2*b^5 + 10*B*a*b^6 + (9*A - C)*b^7)*c^4*d^5 - (3*B*a^6*b + 2*(7*A - 3*C)*a^5*b^2 + 7*B*a^4*b^3 + 2*(14*A
- 9*C)*a^3*b^4 + 11*B*a^2*b^5 + 2*(4*A - 3*C)*a*b^6 + B*b^7)*c^3*d^6 + (5*(A - C)*a^6*b - 2*B*a^5*b^2 + (13*A
- 16*C)*a^4*b^3 + 2*B*a^3*b^4 + 5*(A - C)*a^2*b^5 - 2*B*a*b^6 + 3*A*b^7)*c^2*d^7 + (3*B*a^6*b - 2*A*a^5*b^2 +
6*B*a^4*b^3 - 2*(2*A - C)*a^3*b^4 + B*a^2*b^5)*c*d^8 - (A*a^6*b + 2*(A + C)*a^4*b^3 - 2*B*a^3*b^4 + 3*A*a^2*b
^5)*d^9 + 2*(((A - C)*a^2*b^5 + 2*B*a*b^6 - (A - C)*b^7)*c^7*d^2 - (4*(A - C)*a^3*b^4 + 5*B*a^2*b^5 + 2*(A - C
)*a*b^6 + 3*B*b^7)*c^6*d^3 + 3*(2*(A - C)*a^4*b^3 + 5*(A - C)*a^2*b^5 + 2*B*a*b^6 + (A - C)*b^7)*c^5*d^4 - (4*
(A - C)*a^5*b^2 - 10*B*a^4*b^3 + 20*(A - C)*a^3*b^4 - 5*B*a^2*b^5 + 10*(A - C)*a*b^6 - B*b^7)*c^4*d^5 + ((A -
C)*a^6*b - 10*B*a^5*b^2 + 5*(A - C)*a^4*b^3 - 20*B*a^3*b^4 + 10*(A - C)*a^2*b^5 - 4*B*a*b^6)*c^3*d^6 + 3*(B*a^
6*b + 2*(A - C)*a^5*b^2 + 5*B*a^4*b^3 + 2*B*a^2*b^5)*c^2*d^7 - (3*(A - C)*a^6*b + 2*B*a^5*b^2 + 5*(A - C)*a^4*
b^3 + 4*B*a^3*b^4)*c*d^8 - (B*a^6*b - 2*(A - C)*a^5*b^2 - B*a^4*b^3)*d^9)*f*x)*tan(f*x + e)^3 - 2*(((A - C)*a^
3*b^4 + 2*B*a^2*b^5 - (A - C)*a*b^6)*c^9 - (4*(A - C)*a^4*b^3 + 5*B*a^3*b^4 + 2*(A - C)*a^2*b^5 + 3*B*a*b^6)*c
^8*d + 3*(2*(A - C)*a^5*b^2 + 5*(A - C)*a^3*b^4 + 2*B*a^2*b^5 + (A - C)*a*b^6)*c^7*d^2 - (4*(A - C)*a^6*b - 10
*B*a^5*b^2 + 20*(A - C)*a^4*b^3 - 5*B*a^3*b^4 + 10*(A - C)*a^2*b^5 - B*a*b^6)*c^6*d^3 + ((A - C)*a^7 - 10*B*a^
6*b + 5*(A - C)*a^5*b^2 - 20*B*a^4*b^3 + 10*(A - C)*a^3*b^4 - 4*B*a^2*b^5)*c^5*d^4 + 3*(B*a^7 + 2*(A - C)*a^6*
b + 5*B*a^5*b^2 + 2*B*a^3*b^4)*c^4*d^5 - (3*(A - C)*a^7 + 2*B*a^6*b + 5*(A - C)*a^5*b^2 + 4*B*a^4*b^3)*c^3*d^6
- (B*a^7 - 2*(A - C)*a^6*b - B*a^5*b^2)*c^2*d^7)*f*x - (4*(C*a^3*b^4 - B*a^2*b^5 + A*a*b^6)*c^8*d + 2*(C*a^4*
b^3 + 2*B*a^3*b^4 - (2*A - 5*C)*a^2*b^5 + B*a*b^6 - (A - 3*C)*b^7)*c^7*d^2 - (3*C*a^5*b^2 + 8*B*a^4*b^3 - 8*C*
a^3*b^4 + 30*B*a^2*b^5 - (14*A - 3*C)*a*b^6 + 8*B*b^7)*c^6*d^3 - (4*C*a^6*b - 5*B*a^5*b^2 - 2*(5*A - 13*C)*a^4
*b^3 - 22*B*a^3*b^4 - 2*(4*A - 11*C)*a^2*b^5 - 11*B*a*b^6 - 2*(2*A - 3*C)*b^7)*c^5*d^4 + (C*a^7 + 6*B*a^6*b -
(7*A - 13*C)*a^5*b^2 + 18*B*a^4*b^3 - (14*A - 41*C)*a^3*b^4 + 11*(A + C)*a*b^6 + 6*B*b^7)*c^4*d^5 - (3*B*a^7 +
8*A*a^6*b + 19*B*a^5*b^2 + 2*(11*A + 6*C)*a^4*b^3 + 17*B*a^3*b^4 + 2*(16*A + 3*C)*a^2*b^5 + 7*B*a*b^6 + 12*A*
b^7)*c^3*d^6 + (5*(A - C)*a^7 + 4*B*a^6*b + (25*A - 14*C)*a^5*b^2 + 10*B*a^4*b^3 + (35*A - 3*C)*a^3*b^4 - 2*B*
a^2*b^5 + (25*A - 4*C)*a*b^6 + 2*B*b^7)*c^2*d^7 + (3*B*a^7 - 4*(2*A - C)*a^6*b + 6*B*a^5*b^2 - 4*(5*A - C)*a^4
*b^3 + 7*B*a^3*b^4 - 2*(10*A - C)*a^2*b^5 + 2*B*a*b^6 - 6*A*b^7)*c*d^8 - (A*a^7 + 2*B*a^6*b - 2*A*a^5*b^2 + 4*
B*a^4*b^3 - (7*A + 2*C)*a^3*b^4 + 4*B*a^2*b^5 - 6*A*a*b^6)*d^9 + 2*(2*((A - C)*a^2*b^5 + 2*B*a*b^6 - (A - C)*b
^7)*c^8*d - (7*(A - C)*a^3*b^4 + 8*B*a^2*b^5 + 5*(A - C)*a*b^6 + 6*B*b^7)*c^7*d^2 + (8*(A - C)*a^4*b^3 - 5*B*a
^3*b^4 + 28*(A - C)*a^2*b^5 + 9*B*a*b^6 + 6*(A - C)*b^7)*c^6*d^3 - (2*(A - C)*a^5*b^2 - 20*B*a^4*b^3 + 25*(A -
C)*a^3*b^4 - 16*B*a^2*b^5 + 17*(A - C)*a*b^6 - 2*B*b^7)*c^5*d^4 - (2*(A - C)*a^6*b + 10*B*a^5*b^2 + 10*(A - C
)*a^4*b^3 + 35*B*a^3*b^4 - 10*(A - C)*a^2*b^5 + 7*B*a*b^6)*c^4*d^5 + ((A - C)*a^7 - 4*B*a^6*b + 17*(A - C)*a^5
*b^2 + 10*B*a^4*b^3 + 10*(A - C)*a^3*b^4 + 8*B*a^2*b^5)*c^3*d^6 + (3*B*a^7 + 11*B*a^5*b^2 - 10*(A - C)*a^4*b^3
- 2*B*a^3*b^4)*c^2*d^7 - (3*(A - C)*a^7 + 4*B*a^6*b + (A - C)*a^5*b^2 + 2*B*a^4*b^3)*c*d^8 - (B*a^7 - 2*(A -
C)*a^6*b - B*a^5*b^2)*d^9)*f*x)*tan(f*x + e)^2 + ((B*a^3*b^4 - 2*(A - C)*a^2*b^5 - B*a*b^6)*c^9 + (3*C*a^5*b^2
- 4*B*a^4*b^3 + (5*A + C)*a^3*b^4 - 2*B*a^2*b^5 + 3*A*a*b^6)*c^8*d + 3*(B*a^3*b^4 - 2*(A - C)*a^2*b^5 - B*a*b
^6)*c^7*d^2 + 3*(3*C*a^5*b^2 - 4*B*a^4*b^3 + (5*A + C)*a^3*b^4 - 2*B*a^2*b^5 + 3*A*a*b^6)*c^6*d^3 + 3*(B*a^3*b
^4 - 2*(A - C)*a^2*b^5 - B*a*b^6)*c^5*d^4 + 3*(3*C*a^5*b^2 - 4*B*a^4*b^3 + (5*A + C)*a^3*b^4 - 2*B*a^2*b^5 + 3
*A*a*b^6)*c^4*d^5 + (B*a^3*b^4 - 2*(A - C)*a^2*b^5 - B*a*b^6)*c^3*d^6 + (3*C*a^5*b^2 - 4*B*a^4*b^3 + (5*A + C)
*a^3*b^4 - 2*B*a^2*b^5 + 3*A*a*b^6)*c^2*d^7 + ((B*a^2*b^5 - 2*(A - C)*a*b^6 - B*b^7)*c^7*d^2 + (3*C*a^4*b^3 -
4*B*a^3*b^4 + (5*A + C)*a^2*b^5 - 2*B*a*b^6 + 3*A*b^7)*c^6*d^3 + 3*(B*a^2*b^5 - 2*(A - C)*a*b^6 - B*b^7)*c^5*d
^4 + 3*(3*C*a^4*b^3 - 4*B*a^3*b^4 + (5*A + C)*a^2*b^5 - 2*B*a*b^6 + 3*A*b^7)*c^4*d^5 + 3*(B*a^2*b^5 - 2*(A - C
)*a*b^6 - B*b^7)*c^3*d^6 + 3*(3*C*a^4*b^3 - 4*B*a^3*b^4 + (5*A + C)*a^2*b^5 - 2*B*a*b^6 + 3*A*b^7)*c^2*d^7 + (
B*a^2*b^5 - 2*(A - C)*a*b^6 - B*b^7)*c*d^8 + (3*C*a^4*b^3 - 4*B*a^3*b^4 + (5*A + C)*a^2*b^5 - 2*B*a*b^6 + 3*A*
b^7)*d^9)*tan(f*x + e)^3 + (2*(B*a^2*b^5 - 2*(A - C)*a*b^6 - B*b^7)*c^8*d + (6*C*a^4*b^3 - 7*B*a^3*b^4 + 4*(2*
A + C)*a^2*b^5 - 5*B*a*b^6 + 6*A*b^7)*c^7*d^2 + (3*C*a^5*b^2 - 4*B*a^4*b^3 + (5*A + C)*a^3*b^4 + 4*B*a^2*b^5 -
3*(3*A - 4*C)*a*b^6 - 6*B*b^7)*c^6*d^3 + 3*(6*C*a^4*b^3 - 7*B*a^3*b^4 + 4*(2*A + C)*a^2*b^5 - 5*B*a*b^6 + 6*A
*b^7)*c^5*d^4 + 3*(3*C*a^5*b^2 - 4*B*a^4*b^3 + (5*A + C)*a^3*b^4 - (A - 4*C)*a*b^6 - 2*B*b^7)*c^4*d^5 + 3*(6*C
*a^4*b^3 - 7*B*a^3*b^4 + 4*(2*A + C)*a^2*b^5 - 5*B*a*b^6 + 6*A*b^7)*c^3*d^6 + (9*C*a^5*b^2 - 12*B*a^4*b^3 + 3*
(5*A + C)*a^3*b^4 - 4*B*a^2*b^5 + (5*A + 4*C)*a*b^6 - 2*B*b^7)*c^2*d^7 + (6*C*a^4*b^3 - 7*B*a^3*b^4 + 4*(2*A +
C)*a^2*b^5 - 5*B*a*b^6 + 6*A*b^7)*c*d^8 + (3*C*a^5*b^2 - 4*B*a^4*b^3 + (5*A + C)*a^3*b^4 - 2*B*a^2*b^5 + 3*A*
a*b^6)*d^9)*tan(f*x + e)^2 + ((B*a^2*b^5 - 2*(A - C)*a*b^6 - B*b^7)*c^9 + (3*C*a^4*b^3 - 2*B*a^3*b^4 + (A + 5*
C)*a^2*b^5 - 4*B*a*b^6 + 3*A*b^7)*c^8*d + (6*C*a^5*b^2 - 8*B*a^4*b^3 + 2*(5*A + C)*a^3*b^4 - B*a^2*b^5 + 6*C*a
*b^6 - 3*B*b^7)*c^7*d^2 + 3*(3*C*a^4*b^3 - 2*B*a^3*b^4 + (A + 5*C)*a^2*b^5 - 4*B*a*b^6 + 3*A*b^7)*c^6*d^3 + 3*
(6*C*a^5*b^2 - 8*B*a^4*b^3 + 2*(5*A + C)*a^3*b^4 - 3*B*a^2*b^5 + 2*(2*A + C)*a*b^6 - B*b^7)*c^5*d^4 + 3*(3*C*a
^4*b^3 - 2*B*a^3*b^4 + (A + 5*C)*a^2*b^5 - 4*B*a*b^6 + 3*A*b^7)*c^4*d^5 + (18*C*a^5*b^2 - 24*B*a^4*b^3 + 6*(5*
A + C)*a^3*b^4 - 11*B*a^2*b^5 + 2*(8*A + C)*a*b^6 - B*b^7)*c^3*d^6 + (3*C*a^4*b^3 - 2*B*a^3*b^4 + (A + 5*C)*a^
2*b^5 - 4*B*a*b^6 + 3*A*b^7)*c^2*d^7 + 2*(3*C*a^5*b^2 - 4*B*a^4*b^3 + (5*A + C)*a^3*b^4 - 2*B*a^2*b^5 + 3*A*a*
b^6)*c*d^8)*tan(f*x + e))*log((b^2*tan(f*x + e)^2 + 2*a*b*tan(f*x + e) + a^2)/(tan(f*x + e)^2 + 1)) - (3*(C*a^
5*b^2 + 2*C*a^3*b^4 + C*a*b^6)*c^8*d - 6*(B*a^5*b^2 + 2*B*a^3*b^4 + B*a*b^6)*c^7*d^2 + (4*B*a^6*b + (10*A - C)
*a^5*b^2 + 8*B*a^4*b^3 + 2*(10*A - C)*a^3*b^4 + 4*B*a^2*b^5 + (10*A - C)*a*b^6)*c^6*d^3 - (B*a^7 + 10*(A - C)*
a^6*b + 5*B*a^5*b^2 + 20*(A - C)*a^4*b^3 + 7*B*a^3*b^4 + 10*(A - C)*a^2*b^5 + 3*B*a*b^6)*c^5*d^4 + 3*((A - C)*
a^7 - 2*B*a^6*b + (5*A - 2*C)*a^5*b^2 - 4*B*a^4*b^3 + (7*A - C)*a^3*b^4 - 2*B*a^2*b^5 + 3*A*a*b^6)*c^4*d^5 + (
3*B*a^7 - 2*(A - C)*a^6*b + 5*B*a^5*b^2 - 4*(A - C)*a^4*b^3 + B*a^3*b^4 - 2*(A - C)*a^2*b^5 - B*a*b^6)*c^3*d^6
- ((A - C)*a^7 + 2*B*a^6*b - (A + 2*C)*a^5*b^2 + 4*B*a^4*b^3 - (5*A + C)*a^3*b^4 + 2*B*a^2*b^5 - 3*A*a*b^6)*c
^2*d^7 + (3*(C*a^4*b^3 + 2*C*a^2*b^5 + C*b^7)*c^6*d^3 - 6*(B*a^4*b^3 + 2*B*a^2*b^5 + B*b^7)*c^5*d^4 + (4*B*a^5
*b^2 + (10*A - C)*a^4*b^3 + 8*B*a^3*b^4 + 2*(10*A - C)*a^2*b^5 + 4*B*a*b^6 + (10*A - C)*b^7)*c^4*d^5 - (B*a^6*
b + 10*(A - C)*a^5*b^2 + 5*B*a^4*b^3 + 20*(A - C)*a^3*b^4 + 7*B*a^2*b^5 + 10*(A - C)*a*b^6 + 3*B*b^7)*c^3*d^6
+ 3*((A - C)*a^6*b - 2*B*a^5*b^2 + (5*A - 2*C)*a^4*b^3 - 4*B*a^3*b^4 + (7*A - C)*a^2*b^5 - 2*B*a*b^6 + 3*A*b^7
)*c^2*d^7 + (3*B*a^6*b - 2*(A - C)*a^5*b^2 + 5*B*a^4*b^3 - 4*(A - C)*a^3*b^4 + B*a^2*b^5 - 2*(A - C)*a*b^6 - B
*b^7)*c*d^8 - ((A - C)*a^6*b + 2*B*a^5*b^2 - (A + 2*C)*a^4*b^3 + 4*B*a^3*b^4 - (5*A + C)*a^2*b^5 + 2*B*a*b^6 -
3*A*b^7)*d^9)*tan(f*x + e)^3 + (6*(C*a^4*b^3 + 2*C*a^2*b^5 + C*b^7)*c^7*d^2 + 3*(C*a^5*b^2 - 4*B*a^4*b^3 + 2*
C*a^3*b^4 - 8*B*a^2*b^5 + C*a*b^6 - 4*B*b^7)*c^6*d^3 + 2*(B*a^5*b^2 + (10*A - C)*a^4*b^3 + 2*B*a^3*b^4 + 2*(10
*A - C)*a^2*b^5 + B*a*b^6 + (10*A - C)*b^7)*c^5*d^4 + (2*B*a^6*b - (10*A - 19*C)*a^5*b^2 - 2*B*a^4*b^3 - 2*(10
*A - 19*C)*a^3*b^4 - 10*B*a^2*b^5 - (10*A - 19*C)*a*b^6 - 6*B*b^7)*c^4*d^5 - (B*a^7 + 4*(A - C)*a^6*b + 17*B*a
^5*b^2 - 2*(5*A + 4*C)*a^4*b^3 + 31*B*a^3*b^4 - 4*(8*A + C)*a^2*b^5 + 15*B*a*b^6 - 18*A*b^7)*c^3*d^6 + (3*(A -
C)*a^7 + (11*A - 2*C)*a^5*b^2 - 2*B*a^4*b^3 + (13*A + 5*C)*a^3*b^4 - 4*B*a^2*b^5 + (5*A + 4*C)*a*b^6 - 2*B*b^
7)*c^2*d^7 + (3*B*a^7 - 4*(A - C)*a^6*b + B*a^5*b^2 - 2*(A - 4*C)*a^4*b^3 - 7*B*a^3*b^4 + 4*(2*A + C)*a^2*b^5
- 5*B*a*b^6 + 6*A*b^7)*c*d^8 - ((A - C)*a^7 + 2*B*a^6*b - (A + 2*C)*a^5*b^2 + 4*B*a^4*b^3 - (5*A + C)*a^3*b^4
+ 2*B*a^2*b^5 - 3*A*a*b^6)*d^9)*tan(f*x + e)^2 + (3*(C*a^4*b^3 + 2*C*a^2*b^5 + C*b^7)*c^8*d + 6*(C*a^5*b^2 - B
*a^4*b^3 + 2*C*a^3*b^4 - 2*B*a^2*b^5 + C*a*b^6 - B*b^7)*c^7*d^2 - (8*B*a^5*b^2 - (10*A - C)*a^4*b^3 + 16*B*a^3
*b^4 - 2*(10*A - C)*a^2*b^5 + 8*B*a*b^6 - (10*A - C)*b^7)*c^6*d^3 + (7*B*a^6*b + 2*(5*A + 4*C)*a^5*b^2 + 11*B*
a^4*b^3 + 4*(5*A + 4*C)*a^3*b^4 + B*a^2*b^5 + 2*(5*A + 4*C)*a*b^6 - 3*B*b^7)*c^5*d^4 - (2*B*a^7 + 17*(A - C)*a
^6*b + 16*B*a^5*b^2 + (25*A - 34*C)*a^4*b^3 + 26*B*a^3*b^4 - (A + 17*C)*a^2*b^5 + 12*B*a*b^6 - 9*A*b^7)*c^4*d^
5 + (6*(A - C)*a^7 - 9*B*a^6*b + 2*(14*A - 5*C)*a^5*b^2 - 19*B*a^4*b^3 + 2*(19*A - C)*a^3*b^4 - 11*B*a^2*b^5 +
2*(8*A + C)*a*b^6 - B*b^7)*c^3*d^6 + (6*B*a^7 - 5*(A - C)*a^6*b + 8*B*a^5*b^2 - (7*A - 10*C)*a^4*b^3 - 2*B*a^
3*b^4 + (A + 5*C)*a^2*b^5 - 4*B*a*b^6 + 3*A*b^7)*c^2*d^7 - 2*((A - C)*a^7 + 2*B*a^6*b - (A + 2*C)*a^5*b^2 + 4*
B*a^4*b^3 - (5*A + C)*a^3*b^4 + 2*B*a^2*b^5 - 3*A*a*b^6)*c*d^8)*tan(f*x + e))*log((d^2*tan(f*x + e)^2 + 2*c*d*
tan(f*x + e) + c^2)/(tan(f*x + e)^2 + 1)) - (2*(C*a^3*b^4 - B*a^2*b^5 + A*a*b^6)*c^9 - 2*(C*a^4*b^3 - B*a^3*b^
4 + (A + 2*C)*a^2*b^5 - 2*B*a*b^6 + 2*A*b^7)*c^8*d + 2*(3*C*a^5*b^2 + 11*C*a^3*b^4 - 5*B*a^2*b^5 + (5*A + 3*C)
*a*b^6)*c^7*d^2 - (8*C*a^6*b + 8*B*a^5*b^2 + 29*C*a^4*b^3 + 10*B*a^3*b^4 + 2*(3*A + 17*C)*a^2*b^5 - 4*B*a*b^6
+ (12*A + 7*C)*b^7)*c^6*d^3 + (2*C*a^7 + 12*B*a^6*b + 2*(5*A + 4*C)*a^5*b^2 + 33*B*a^4*b^3 + 4*(5*A + 7*C)*a^3
*b^4 + 12*B*a^2*b^5 + 4*(7*A + C)*a*b^6 + 9*B*b^7)*c^5*d^4 - (4*B*a^7 + (16*A - 9*C)*a^6*b + 16*B*a^5*b^2 + (4
3*A - 11*C)*a^4*b^3 + 14*B*a^3*b^4 + (44*A + 5*C)*a^2*b^5 - 4*B*a*b^6 + (23*A + C)*b^7)*c^4*d^5 + (6*(A - C)*a
^7 - 7*B*a^6*b + 2*(12*A - 7*C)*a^5*b^2 - 11*B*a^4*b^3 + 2*(15*A + 2*C)*a^3*b^4 - 15*B*a^2*b^5 + 2*(13*A - C)*
a*b^6 + 3*B*b^7)*c^3*d^6 + (6*B*a^7 + (5*A - C)*a^6*b + 12*B*a^5*b^2 + (5*A - 4*C)*a^4*b^3 + 8*B*a^3*b^4 - (7*
A + 5*C)*a^2*b^5 + 4*B*a*b^6 - 9*A*b^7)*c^2*d^7 - (2*(3*A - 2*C)*a^7 + B*a^6*b + 2*(5*A - 4*C)*a^5*b^2 + 2*B*a
^4*b^3 + 2*(A - 4*C)*a^3*b^4 + 5*B*a^2*b^5 - 6*A*a*b^6)*c*d^8 - (2*B*a^7 - 3*A*a^6*b + 4*B*a^5*b^2 - 6*A*a^4*b
^3 + 2*B*a^3*b^4 - 3*A*a^2*b^5)*d^9 + 2*(((A - C)*a^2*b^5 + 2*B*a*b^6 - (A - C)*b^7)*c^9 - (2*(A - C)*a^3*b^4
+ B*a^2*b^5 + 4*(A - C)*a*b^6 + 3*B*b^7)*c^8*d - (2*(A - C)*a^4*b^3 + 10*B*a^3*b^4 - 11*(A - C)*a^2*b^5 - 3*(A
- C)*b^7)*c^7*d^2 + (8*(A - C)*a^5*b^2 + 10*B*a^4*b^3 + 10*(A - C)*a^3*b^4 + 17*B*a^2*b^5 - 4*(A - C)*a*b^6 +
B*b^7)*c^6*d^3 - (7*(A - C)*a^6*b - 10*B*a^5*b^2 + 35*(A - C)*a^4*b^3 + 10*B*a^3*b^4 + 10*(A - C)*a^2*b^5 + 2
*B*a*b^6)*c^5*d^4 + (2*(A - C)*a^7 - 17*B*a^6*b + 16*(A - C)*a^5*b^2 - 25*B*a^4*b^3 + 20*(A - C)*a^3*b^4 - 2*B
*a^2*b^5)*c^4*d^5 + (6*B*a^7 + 9*(A - C)*a^6*b + 28*B*a^5*b^2 - 5*(A - C)*a^4*b^3 + 8*B*a^3*b^4)*c^3*d^6 - (6*
(A - C)*a^7 + 5*B*a^6*b + 8*(A - C)*a^5*b^2 + 7*B*a^4*b^3)*c^2*d^7 - 2*(B*a^7 - 2*(A - C)*a^6*b - B*a^5*b^2)*c
*d^8)*f*x)*tan(f*x + e))/(((a^4*b^5 + 2*a^2*b^7 + b^9)*c^10*d^2 - 4*(a^5*b^4 + 2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^9*d^3 + 3*
(2*a^6*b^3 + 5*a^4*b^5 + 4*a^2*b^7 + b^9)*c^8*d^4 - 4*(a^7*b^2 + 5*a^5*b^4 + 7*a^3*b^6 + 3*a*b^8)*c^7*d^5 + (a
^8*b + 20*a^6*b^3 + 40*a^4*b^5 + 24*a^2*b^7 + 3*b^9)*c^6*d^6 - 12*(a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 + a*b^8)*c^
5*d^7 + (3*a^8*b + 24*a^6*b^3 + 40*a^4*b^5 + 20*a^2*b^7 + b^9)*c^4*d^8 - 4*(3*a^7*b^2 + 7*a^5*b^4 + 5*a^3*b^6
+ a*b^8)*c^3*d^9 + 3*(a^8*b + 4*a^6*b^3 + 5*a^4*b^5 + 2*a^2*b^7)*c^2*d^10 - 4*(a^7*b^2 + 2*a^5*b^4 + a^3*b^6)*
c*d^11 + (a^8*b + 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)*d^12)*f*tan(f*x + e)^3 + (2*(a^4*b^5 + 2*a^2*b^7 + b^9)*c^11*d - 7*(a^5
*b^4 + 2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^10*d^2 + 2*(4*a^6*b^3 + 11*a^4*b^5 + 10*a^2*b^7 + 3*b^9)*c^9*d^3 - (2*a^7*b^2 + 25
*a^5*b^4 + 44*a^3*b^6 + 21*a*b^8)*c^8*d^4 - 2*(a^8*b - 10*a^6*b^3 - 26*a^4*b^5 - 18*a^2*b^7 - 3*b^9)*c^7*d^5 +
(a^9 - 4*a^7*b^2 - 32*a^5*b^4 - 48*a^3*b^6 - 21*a*b^8)*c^6*d^6 - 2*(3*a^8*b - 6*a^6*b^3 - 22*a^4*b^5 - 14*a^2
*b^7 - b^9)*c^5*d^7 + (3*a^9 - 16*a^5*b^4 - 20*a^3*b^6 - 7*a*b^8)*c^4*d^8 - 2*(3*a^8*b + 2*a^6*b^3 - 5*a^4*b^5
- 4*a^2*b^7)*c^3*d^9 + (3*a^9 + 4*a^7*b^2 - a^5*b^4 - 2*a^3*b^6)*c^2*d^10 - 2*(a^8*b + 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)*c
*d^11 + (a^9 + 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)*d^12)*f*tan(f*x + e)^2 + ((a^4*b^5 + 2*a^2*b^7 + b^9)*c^12 - 2*(a^5*b^4 +
2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^11*d - (2*a^6*b^3 + a^4*b^5 - 4*a^2*b^7 - 3*b^9)*c^10*d^2 + 2*(4*a^7*b^2 + 5*a^5*b^4 - 2*
a^3*b^6 - 3*a*b^8)*c^9*d^3 - (7*a^8*b + 20*a^6*b^3 + 16*a^4*b^5 - 3*b^9)*c^8*d^4 + 2*(a^9 + 14*a^7*b^2 + 22*a^
5*b^4 + 6*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*c^7*d^5 - (21*a^8*b + 48*a^6*b^3 + 32*a^4*b^5 + 4*a^2*b^7 - b^9)*c^6*d^6 + 2*(3*a
^9 + 18*a^7*b^2 + 26*a^5*b^4 + 10*a^3*b^6 - a*b^8)*c^5*d^7 - (21*a^8*b + 44*a^6*b^3 + 25*a^4*b^5 + 2*a^2*b^7)*
c^4*d^8 + 2*(3*a^9 + 10*a^7*b^2 + 11*a^5*b^4 + 4*a^3*b^6)*c^3*d^9 - 7*(a^8*b + 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)*c^2*d^10 +
2*(a^9 + 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)*c*d^11)*f*tan(f*x + e) + ((a^5*b^4 + 2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^12 - 4*(a^6*b^3 + 2*a
^4*b^5 + a^2*b^7)*c^11*d + 3*(2*a^7*b^2 + 5*a^5*b^4 + 4*a^3*b^6 + a*b^8)*c^10*d^2 - 4*(a^8*b + 5*a^6*b^3 + 7*a
^4*b^5 + 3*a^2*b^7)*c^9*d^3 + (a^9 + 20*a^7*b^2 + 40*a^5*b^4 + 24*a^3*b^6 + 3*a*b^8)*c^8*d^4 - 12*(a^8*b + 3*a
^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7)*c^7*d^5 + (3*a^9 + 24*a^7*b^2 + 40*a^5*b^4 + 20*a^3*b^6 + a*b^8)*c^6*d^6 - 4*(3*
a^8*b + 7*a^6*b^3 + 5*a^4*b^5 + a^2*b^7)*c^5*d^7 + 3*(a^9 + 4*a^7*b^2 + 5*a^5*b^4 + 2*a^3*b^6)*c^4*d^8 - 4*(a^
8*b + 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)*c^3*d^9 + (a^9 + 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)*c^2*d^10)*f)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)**2)/(a+b*tan(f*x+e))**2/(c+d*tan(f*x+e))**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 2.95277, size = 4288, normalized size = 4.98 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(2*(A*a^2*c^3 - C*a^2*c^3 + 2*B*a*b*c^3 - A*b^2*c^3 + C*b^2*c^3 + 3*B*a^2*c^2*d - 6*A*a*b*c^2*d + 6*C*a*b*
c^2*d - 3*B*b^2*c^2*d - 3*A*a^2*c*d^2 + 3*C*a^2*c*d^2 - 6*B*a*b*c*d^2 + 3*A*b^2*c*d^2 - 3*C*b^2*c*d^2 - B*a^2*
d^3 + 2*A*a*b*d^3 - 2*C*a*b*d^3 + B*b^2*d^3)*(f*x + e)/(a^4*c^6 + 2*a^2*b^2*c^6 + b^4*c^6 + 3*a^4*c^4*d^2 + 6*
a^2*b^2*c^4*d^2 + 3*b^4*c^4*d^2 + 3*a^4*c^2*d^4 + 6*a^2*b^2*c^2*d^4 + 3*b^4*c^2*d^4 + a^4*d^6 + 2*a^2*b^2*d^6
+ b^4*d^6) + (B*a^2*c^3 - 2*A*a*b*c^3 + 2*C*a*b*c^3 - B*b^2*c^3 - 3*A*a^2*c^2*d + 3*C*a^2*c^2*d - 6*B*a*b*c^2*
d + 3*A*b^2*c^2*d - 3*C*b^2*c^2*d - 3*B*a^2*c*d^2 + 6*A*a*b*c*d^2 - 6*C*a*b*c*d^2 + 3*B*b^2*c*d^2 + A*a^2*d^3
- C*a^2*d^3 + 2*B*a*b*d^3 - A*b^2*d^3 + C*b^2*d^3)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(a^4*c^6 + 2*a^2*b^2*c^6 + b^4*c^6
+ 3*a^4*c^4*d^2 + 6*a^2*b^2*c^4*d^2 + 3*b^4*c^4*d^2 + 3*a^4*c^2*d^4 + 6*a^2*b^2*c^2*d^4 + 3*b^4*c^2*d^4 + a^4*
d^6 + 2*a^2*b^2*d^6 + b^4*d^6) - 2*(B*a^2*b^5*c - 2*A*a*b^6*c + 2*C*a*b^6*c - B*b^7*c + 3*C*a^4*b^3*d - 4*B*a^
3*b^4*d + 5*A*a^2*b^5*d + C*a^2*b^5*d - 2*B*a*b^6*d + 3*A*b^7*d)*log(abs(b*tan(f*x + e) + a))/(a^4*b^5*c^4 + 2
*a^2*b^7*c^4 + b^9*c^4 - 4*a^5*b^4*c^3*d - 8*a^3*b^6*c^3*d - 4*a*b^8*c^3*d + 6*a^6*b^3*c^2*d^2 + 12*a^4*b^5*c^
2*d^2 + 6*a^2*b^7*c^2*d^2 - 4*a^7*b^2*c*d^3 - 8*a^5*b^4*c*d^3 - 4*a^3*b^6*c*d^3 + a^8*b*d^4 + 2*a^6*b^3*d^4 +
a^4*b^5*d^4) + 2*(3*C*b^2*c^6*d^2 - 6*B*b^2*c^5*d^3 + 4*B*a*b*c^4*d^4 + 10*A*b^2*c^4*d^4 - C*b^2*c^4*d^4 - B*a
^2*c^3*d^5 - 10*A*a*b*c^3*d^5 + 10*C*a*b*c^3*d^5 - 3*B*b^2*c^3*d^5 + 3*A*a^2*c^2*d^6 - 3*C*a^2*c^2*d^6 - 6*B*a
*b*c^2*d^6 + 9*A*b^2*c^2*d^6 + 3*B*a^2*c*d^7 - 2*A*a*b*c*d^7 + 2*C*a*b*c*d^7 - B*b^2*c*d^7 - A*a^2*d^8 + C*a^2
*d^8 - 2*B*a*b*d^8 + 3*A*b^2*d^8)*log(abs(d*tan(f*x + e) + c))/(b^4*c^10*d - 4*a*b^3*c^9*d^2 + 6*a^2*b^2*c^8*d
^3 + 3*b^4*c^8*d^3 - 4*a^3*b*c^7*d^4 - 12*a*b^3*c^7*d^4 + a^4*c^6*d^5 + 18*a^2*b^2*c^6*d^5 + 3*b^4*c^6*d^5 - 1
2*a^3*b*c^5*d^6 - 12*a*b^3*c^5*d^6 + 3*a^4*c^4*d^7 + 18*a^2*b^2*c^4*d^7 + b^4*c^4*d^7 - 12*a^3*b*c^3*d^8 - 4*a
*b^3*c^3*d^8 + 3*a^4*c^2*d^9 + 6*a^2*b^2*c^2*d^9 - 4*a^3*b*c*d^10 + a^4*d^11) + 2*(B*a^2*b^5*c*tan(f*x + e) -
2*A*a*b^6*c*tan(f*x + e) + 2*C*a*b^6*c*tan(f*x + e) - B*b^7*c*tan(f*x + e) + 3*C*a^4*b^3*d*tan(f*x + e) - 4*B*
a^3*b^4*d*tan(f*x + e) + 5*A*a^2*b^5*d*tan(f*x + e) + C*a^2*b^5*d*tan(f*x + e) - 2*B*a*b^6*d*tan(f*x + e) + 3*
A*b^7*d*tan(f*x + e) - C*a^4*b^3*c + 2*B*a^3*b^4*c - 3*A*a^2*b^5*c + C*a^2*b^5*c - A*b^7*c + 4*C*a^5*b^2*d - 5
*B*a^4*b^3*d + 6*A*a^3*b^4*d + 2*C*a^3*b^4*d - 3*B*a^2*b^5*d + 4*A*a*b^6*d)/((a^4*b^4*c^4 + 2*a^2*b^6*c^4 + b^
8*c^4 - 4*a^5*b^3*c^3*d - 8*a^3*b^5*c^3*d - 4*a*b^7*c^3*d + 6*a^6*b^2*c^2*d^2 + 12*a^4*b^4*c^2*d^2 + 6*a^2*b^6
*c^2*d^2 - 4*a^7*b*c*d^3 - 8*a^5*b^3*c*d^3 - 4*a^3*b^5*c*d^3 + a^8*d^4 + 2*a^6*b^2*d^4 + a^4*b^4*d^4)*(b*tan(f
*x + e) + a)) - (9*C*b^2*c^6*d^3*tan(f*x + e)^2 - 18*B*b^2*c^5*d^4*tan(f*x + e)^2 + 12*B*a*b*c^4*d^5*tan(f*x +
e)^2 + 30*A*b^2*c^4*d^5*tan(f*x + e)^2 - 3*C*b^2*c^4*d^5*tan(f*x + e)^2 - 3*B*a^2*c^3*d^6*tan(f*x + e)^2 - 30
*A*a*b*c^3*d^6*tan(f*x + e)^2 + 30*C*a*b*c^3*d^6*tan(f*x + e)^2 - 9*B*b^2*c^3*d^6*tan(f*x + e)^2 + 9*A*a^2*c^2
*d^7*tan(f*x + e)^2 - 9*C*a^2*c^2*d^7*tan(f*x + e)^2 - 18*B*a*b*c^2*d^7*tan(f*x + e)^2 + 27*A*b^2*c^2*d^7*tan(
f*x + e)^2 + 9*B*a^2*c*d^8*tan(f*x + e)^2 - 6*A*a*b*c*d^8*tan(f*x + e)^2 + 6*C*a*b*c*d^8*tan(f*x + e)^2 - 3*B*
b^2*c*d^8*tan(f*x + e)^2 - 3*A*a^2*d^9*tan(f*x + e)^2 + 3*C*a^2*d^9*tan(f*x + e)^2 - 6*B*a*b*d^9*tan(f*x + e)^
2 + 9*A*b^2*d^9*tan(f*x + e)^2 + 22*C*b^2*c^7*d^2*tan(f*x + e) - 4*C*a*b*c^6*d^3*tan(f*x + e) - 42*B*b^2*c^6*d
^3*tan(f*x + e) + 32*B*a*b*c^5*d^4*tan(f*x + e) + 68*A*b^2*c^5*d^4*tan(f*x + e) - 2*C*b^2*c^5*d^4*tan(f*x + e)
- 8*B*a^2*c^4*d^5*tan(f*x + e) - 72*A*a*b*c^4*d^5*tan(f*x + e) + 60*C*a*b*c^4*d^5*tan(f*x + e) - 26*B*b^2*c^4
*d^5*tan(f*x + e) + 22*A*a^2*c^3*d^6*tan(f*x + e) - 22*C*a^2*c^3*d^6*tan(f*x + e) - 28*B*a*b*c^3*d^6*tan(f*x +
e) + 66*A*b^2*c^3*d^6*tan(f*x + e) + 18*B*a^2*c^2*d^7*tan(f*x + e) - 28*A*a*b*c^2*d^7*tan(f*x + e) + 16*C*a*b
*c^2*d^7*tan(f*x + e) - 8*B*b^2*c^2*d^7*tan(f*x + e) - 2*A*a^2*c*d^8*tan(f*x + e) + 2*C*a^2*c*d^8*tan(f*x + e)
- 12*B*a*b*c*d^8*tan(f*x + e) + 22*A*b^2*c*d^8*tan(f*x + e) + 2*B*a^2*d^9*tan(f*x + e) - 4*A*a*b*d^9*tan(f*x
+ e) + 14*C*b^2*c^8*d - 6*C*a*b*c^7*d^2 - 25*B*b^2*c^7*d^2 + C*a^2*c^6*d^3 + 22*B*a*b*c^6*d^3 + 39*A*b^2*c^6*d
^3 + 3*C*b^2*c^6*d^3 - 6*B*a^2*c^5*d^4 - 44*A*a*b*c^5*d^4 + 26*C*a*b*c^5*d^4 - 19*B*b^2*c^5*d^4 + 14*A*a^2*c^4
*d^5 - 11*C*a^2*c^4*d^5 - 6*B*a*b*c^4*d^5 + 41*A*b^2*c^4*d^5 + C*b^2*c^4*d^5 + 7*B*a^2*c^3*d^6 - 26*A*a*b*c^3*
d^6 + 8*C*a*b*c^3*d^6 - 6*B*b^2*c^3*d^6 + 3*A*a^2*c^2*d^7 - 4*B*a*b*c^2*d^7 + 14*A*b^2*c^2*d^7 + B*a^2*c*d^8 -
6*A*a*b*c*d^8 + A*a^2*d^9)/((b^4*c^10 - 4*a*b^3*c^9*d + 6*a^2*b^2*c^8*d^2 + 3*b^4*c^8*d^2 - 4*a^3*b*c^7*d^3 -
12*a*b^3*c^7*d^3 + a^4*c^6*d^4 + 18*a^2*b^2*c^6*d^4 + 3*b^4*c^6*d^4 - 12*a^3*b*c^5*d^5 - 12*a*b^3*c^5*d^5 + 3
*a^4*c^4*d^6 + 18*a^2*b^2*c^4*d^6 + b^4*c^4*d^6 - 12*a^3*b*c^3*d^7 - 4*a*b^3*c^3*d^7 + 3*a^4*c^2*d^8 + 6*a^2*b
^2*c^2*d^8 - 4*a^3*b*c*d^9 + a^4*d^10)*(d*tan(f*x + e) + c)^2))/f